Zahnräder und Zahnradgetriebe

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Zahnräder und Zahnradgetriebe
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Wälzlagerungen Achsen, Wellen und Zapfen

Zahnräder Nähmaschinengetriebe.jpg
Nähmaschinengetriebe der Firma Singer Baujahr 1972


Funktion und Wirkung

Zahnradgetriebe bestehen aus einem oder mehreren Zahnradpaaren. Es gibt geschlossene und offene Getriebe. Geschlossene Getriebe überwiegen. Zahnradgetriebe haben einen hohen Wirkungsgrad bei kompakter Bauweise.

Nachteilig ist die starre Kraftübertragung durch den Formschluss bei Getrieben (elastische Kupplungen vorsehen). Unerwünschte Schwingungen können durch bessere Verzahnungsqualität reduziert werden.



Die folgende Tabelle zeigt eine Übersicht der wichtigsten Getriebearten mit Merkmalen:

Getriebeart Funktionsfläche Lage der Achsen Kontaktart
Wälz-
getriebe
Stirnrad-
getriebe
Zahnräder stirn.jpg Zylinder Parallel
Σ=0
a>0
Linie
Kegelrad-
getriebe
Zahnräder Kegelrad.jpg Kegel sich schneidend
Σ>0
(meist Σ=90°)
a=0
Linie
Schraub-
wälz-
getriebe
Stirnrad-
schraub-
getriebe
Zahnräder Stirnschraub1.jpg Zylinder sich kreuzend
Σ>0
a>0
Punkt
Kegelrad-
schraub-
getriebe
Zahnräder kegelschraub.jpg Kegel sich kreuzend
Σ=90°
a>0
Punkt
Schraub-
getriebe
Schnecken-
getriebe
Zahnräder schnecken.jpg Zylinder
und
Globoid
sich kreuzend
Σ=90°
a>0
Linie


Zahnräder

Zahnräder Flankenprofil.jpg

Um eine formschlüssige Kraftübertragung zwischen nicht fluchtenden Wellen zu realisieren, werden Zahnräder benutzt. Jedes Zahnrad weist eine Links- und Rechtsflanke auf. Entsprechend der Drehrichtung werden sie zu einer Arbeits- oder Rückflanke. Die Arbeitsflanken des treibenden und des getriebenen Zahnrades berühren sich im Eingriffspunkt (beim treibenden Rad vom Zahnfuß bis zum Zahnkopf und umgekehrt beim getriebenen Rad), wobei dieser wandert. Flankenspiel ist zwischen den Rückflanken vorhanden. Ein gegebenes Zahnrad bestimmt mit seiner Verzahnung die Verzahnung des Gegenrades.

Die Funktionsfläche eines Zahnrades ist eine gedachte Fläche um die Radachse ohne Zähne. Bei einem Zahnradpaar wälzen die Funktionsflächen aufeinander ab, wenn sie die gleiche Relativbewegung machen. Die geometrischen Bestimmgrößen der Verzahnung werden auf die Bezugsfläche bezogen, welche normalerweise gleichzeitig die Funktionsfläche ist.

Hyperboloidräder bilden bei den Zahnradpaaren den allgemeinen Fall, von denen sich in vereinfachter Form alle Zahnradpaarungen ableiten lassen

Die Abbildung zeigt: a) Zahn mit Flankenprofil b) Arbeits- und Rückflanken

Frage 1:

Welche Unterschiede gibt es bei Zahnradgetrieben und was sind ihre Vor- und Nachteile?
Lösung

Getriebearten

Ein Zahnradgetriebe besteht aus einem oder mehreren Zahnradpaaren. In einem Getriebe wird die Drehrichtung, die Drehzahl und das Drehmoment umgewandelt. Dies kann in mehreren Getriebestufen geschehen.
Die Getriebebauarten werden nach der Lage der Radachsen bzw. der Wellen eines Zahnradpaares und der Richtung der Flanken nach DIN 868 in Wälzgetriebe und Schraubwälzgetriebe unterschieden.

Zahnräder Stirnradgetriebe.jpg
Stirnradgetriebe
Zahnräder Kegerad mit Geradverzahnung.jpg
Kegelrad mit Geradverzahnung
Zahnräder Stirnschraubgetriebe.jpg
Stirnschraubgetriebe
Zahnräder Kegelradschraubgetriebe.jpg
Kegelradschraubgetriebe
Zahnräder Globoidschneckengetriebe.jpg
Globoidschneckengetriebe
Zahnräder Kegelplanrad.jpg
Kegelplanrad
Zahnräder Zahnstange.jpg
Zahnstange
Zahnräder Innenradpaar.jpg
Innenradpaar

Wälzgetriebe

Die Wälzgetriebe unterteilen sich in Stirnradgetriebe und Kegelradgetriebe.

Allgemeines:

  • In den Funktionsflächen tritt reines Wälzen auf
  • Radpaare bzw. Radachsen (Wellen) in einer Ebene, also parallel oder schneiden sich (meist) im 90° Winkel
  • Kontakt ist linienförmig


Stirnradgetriebe
  • Paarung zweier außen- oder innenverzahnter Stirnräder
  • Funktionsfläche ist jeweils ein Wälzzylinder
  • Übersetzung je Radpaar üblicherweise i ≤ 6 (imax = 8…10)
  • Sonderfall: Die Zahnstange hat einen unendlich großen Durchmesser
Kegelradgetriebe
  • Paarung zweier Kegelräder mit Gerad- oder Schrägverzahnung
  • Funktionsfläche ist ein Wälzkegel
  • Übersetzung imax ≈ 6
  • Berührung der Zahnflanken ist linienförmig
  • Grenzfall ist das außenverzahnte Kegelrad = Kegelplanrad, dessen Funktionsfläche senkrecht zur Radachse (Welle) ist

Schraubwälzgetriebe

Die Schraubwälzgetriebe unterteilen sich in Stirnschraubgetriebe und Kegelradschraubgetriebe

Allgemeines:

  • Radachsen (Wellen) kreuzen sich nicht in einer Ebene
  • Funktionsflächen sind Hyperboloide
  • Wälzen sich bei Drehung unter gleichzeitigem Gleiten (Verschieben) längs ihrer gemeinsamen Berührungslinie aufeinander ab
  • Die Verzahnungen beider Räder liegen in den hyperbolischen Funktionsflächen
  • Zahnräder können als hyperbolische Stirnräder (Kehlräder) oder als hyperbolische Kegelräder ausgeführt sein
  • Durch gekrümmte Funktionsflächen werden die Verzahnungen in der Praxis an Zylinder- bzw. Kegelflächen angenähert
Stirnschraubgetriebe
  • Die Verzahnung der Zahnräder hat Punktberührung
  • Die Form wird von den Hyperboloiden an Zylinderflächen angenähert.
  • Getriebe eignen sich nur für kleine Lasten imax = 5
Kegelradschraubgetriebe
  • Kleiner Achsabstand (Wellen) „a“ (z. B. Achsversatz bei Kfz-Getrieben)
  • Zahnräder werden meist als bogenverzahnte Kegelschraubräder ausgeführt (werden Hypoidräder genannt)
  • Bei Paarungen dieser Räder kreuzen sich vielfach die Radachsen (Wellen) rechtwinklig
  • Kontakt ist linienförmig

Schraubgetriebe

  • Achsen (Wellen) kreuzen sich rechtwinklig
  • Übersetzung von imin ≈ 5 bis imax ≈ 60 (in Ausnahmefällen bis imax ≈ 100)
  • Im Eingriffsfeld besteht Linienberührung
  • Zylindrische oder globoidische Funktionsflächen mit passendem Gegenrad (auch globoidisch)

Verzahnungsgesetz

Verzahnungsgesetz

Eine konstant bleibende Übersetzung (i12) ist für den gleichmäßigen Lauf des Zahnradpaares die Vorraussetzung. Als erstes berühren sich die Zähne des treibenden Rades am Zahnfuß und am getriebenen Rad am Zahnkopf im Eingriffspunkt B. Beide Zahnräder drehen sich mit den Winkelgeschwindigkeiten ω1 = treibendes Rad und ω2 = getriebenes Rad. Der Eingriffspunkt B wandert auf den Zahnflanken auf der gemeinsamen Normalen n-n. Die gemeinsame Normale n-n läuft durch den Wälzpunkt C, dies ist der Punkt an dem sich beide Wälzkreise W1 = Wälzkreis treibendes Rad und W2 = Wälzkreis getriebenes Rad berühren.


Flankenprofile und Verzahnungsarten

Zykloidenverzahnung

Zahnräder Zykloiden.jpg

Die Zykloiden entstehen durch das Abrollen eines Rollkreises auf einer Wälzgeraden (a) eine Orthozykloide). Die Wälzgerade kann auch rund sein und heißt dann Wälzkreis. Der Rollkreis kann außen ( b) eine Epizykloide) oder innen ( c) eine Hypozykloide) auf dem Wälzkreis abrollen und so eine Zykloide erzeugen.

Zahnräder Zykloidenverzahnung1.jpg

Die Eingrifflinie setzt sich zusammen aus den Bögen der Rollkreise (Bild a)). Die Eingriffsstrecke, gepunktet (rot) dargestellt, beginnt im Punkt A und endet im Punkt E.

Gleichzeitig, neben einer Wälzbewegung, erfolgt noch eine Gleitbewegung, die aus den unterschiedlichen Längen hervor geht.

Bei diesem Verzahnungstyp ist immer ein konvex gekrümmtes Flankenprofil mit einem konkav gekrümten Flankenprofil im Eingriff. Die Flächenpressung ist durch günstiges Anschmiegen der Zahnflanken aneinander geringer, dadurch gibt es weniger Abnutzung und die Belastbarkeit der Zahnräder steigt.

Bei der Zykloidenverzahnung ist es möglich Zahnräder mit kleinen Zähnezahlen herzustellen (z=3).

Da die Verzahnung immer aus dem Zusammenspiel von zwei Zahnrädern entsteht, gehören diese als Satz zusammen. Möchte man Wechselräder oder Schieberäder realisieren, geht dies nur unter Verwendung gleicher Rollkreise.

Die Zykloidenverzahnung wird nur in Sondergebieten eingesetzt, da ihre Herstellung sehr teuer und schwierig ist. Die Herstellwerkzeuge haben keine geraden Schneidkanten. Die Einsatzgebiete sind z. B. die Feinwerktechnik.




Treibstockverzahnung

Die Triebstockverzahnung ist eine spezielle Form der Zykloidenverzahnung. Durch diese Form entsteht eine Punktverzahnung. Um die Abnutzung zu reduzieren wird der Punkt mit dem Durchmesser dB vergrößert. Das Ritzel wird an die Triebstockbolzen angepasst.

Anwendungsgebiete sind z. B. Krandrehwerke und Karussels. Bei ihnen sind große Übersetzungen vorhanden.

Evolventenverzahnung

Zahnräder Kreisevolvente.jpg
Zahnräder Evolventen am Zahnrad.jpg


Eine Kreisevolvente wird mit einem Grundkreis und einer Rollgeraden konstruiert. Auf dem Grundkreis wird die Rollgerade abgerollt. Die Bahn, die der Startpunkt beschreibt, ist die Kreisevolvente. In dem Bild kann man die verschiedenen Zwischenpunkte 1 bis 6 sehen. Die Rollgerade ist dabei immer tangential zum Mittelpunkt des Rollkreises.
Bei der Evolventenverzahnung gibt es an jedem Zahn zwei Teile von Kreisevolventen, die den Zahn bilden (rot markiert im Bild20-12b). Die Eingriffslinie ist nach dem Verzahnungsgesetz eine Gerade n-n. Sie berührt die beiden Grundkreise tangential zu den Mittelpunkten der Räder, in den Punkten T1 und T2. Der Punkt C liegt auf dem Punkt, wo sich beide Wälzkreise berühren auf der gedachten Linie zwischen den Mittelpunkten der Zahnräder M1 und M2. Wenn man im Punkt C eine Linie im 90°-Winkel zeichnet, erhält man die Linie t-t. Der kleine Winkel zwischen den Linien M1-M2 und t-t ist der Eingriffswinkel α. Der Winkel α findet sich auch noch an anderen Stellen im Bild wieder (blau markiert).

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes: Datei fehlt
Zahnräder Evolventenverzahnung innen.jpg

Die Linie, die entsteht, wenn zwei Zahnflanken anfangen sich zu berühren, bis zu dem Punkt, wo sie sich nicht mehr berühren, ist die Eingriffslinie. Sie ist abhängig von der Drehrichtung der Zahnräder. Im Bild a) ist die rot gepunktete Linie für die angegebene Drehrichtung und die gestrichelte für den umgekehrten Drehsinn eingezeichnet.
Die Evolventenverzahnung ist, weil ihre Eingriffslinie eine Gerade ist, unempfindlich gegen Achsabstandsänderungen.
Die Verzahnung bei Hohlrädern ist konkav. Im Bild 20-13b kann man einen Teil eines Hohlrad sehen. Die Eingriffsstrecke ist rot markiert.
Zahnräder sollten möglichst eine Zähnezahldifferenz von z2-z1 ≤ 10 Zähnen haben. Bei geringerer Zähnezahldifferenz (bei einem Übersetzungsverhältnis nahe i=1) kann es zu Zahnüberschneidungen kommen.
Anwendung der Evolventenverzahnung ist im Maschinenbau, dort wird sie fast ausschließlich verwendet. Die Zahnräder können kostengünstig und relativ einfach hergestellt werden.

Frage 2:

Welche unterschiede gibt es zwischen der Evolventen und Zykloidenverzahnung im Bezug auf die Eingriffslinie?
Lösung

Bezugsprofil, Herstellung der Evolventenverzahnung

  • Bezugsprofil eines Stirnrades ist nach DIN 867 ein festgelegtes Profil mit geraden Flanken
  • Bezugsprofil ist durch den Modul mn festgelegt (mn = 1 … 70 mm)
  • Rad und Gegenrad haben gleiches Bezugsprofil
  • Der Kopfkreis des Zahnrades wird durch Verzahnungswerkzeuge nicht bearbeitet

Zahnradwerkstoffe

Viele Werkstoffe kommen bei der Zahnradherstellung zum Einsatz. Von großer Bedeutung für die Herstellung sind jedoch die Stähle aus technischen und wirtschaftlichen Gründen.
Es ist bei nicht gehärteten Werkstoffen zu vermeiden, dass beide Zahnräder aus dem selben Werkstoff bestehen und somit die gleiche Härte aufweisen. Es besteht dann Fressgefahr, die zu vermeiden ist. Ein möglichst großer Härteunterschied zwischen den Zahnrädern wirkt sich in Bezug auf Verschleiß auf die Dauer günstiger aus.
Sind beide Zahnräder gehärtet und geschliffen oder besteht die Paarung aus Gusseisen, hat man keine Probleme mit dem Verschleiß. Auch die Paarung ein gehärtetes und ein nicht gehärtetes Zahnrad ist günstig, da durch die Überrollungen eine Kaltverfestigung eintritt.

Es kommen folgende Werkstoffe bei der Herstellung von Zahnrädern zum Einsatz:

Schmierung der Zahnradgetriebe

Die Schmierung soll die Abnutzung der Zahnflanken herabsetzen oder auf ein Mindestmaß begrenzen. Getriebegeräusche und Getriebeerwärmung können ebenfalls durch die Schmierung beeinflusst werden. Damit ein Getriebe gut und lange arbeiten kann, muß gewährleistet werden, dass die Verzahnung mit einem ausreichenden Schmierfilm versorgt wird. Im Wesentlichen kommen in Getrieben Schmieröle und Schmierfette zum Einsatz. Die maximale Getriebetemperatur sollte 80°C nicht übersteigen.

Folgende Arten der Getriebeschmierung gibt es:

  • Auftragsschmierung
  • Sprühschmierung
  • Tauchschmierung
  • Spritzschmierung

Getriebewirkungsgrad

Der Gesamtwirkungsgrad setzt sich aus den einzelnen Wirkungsgraden für Lagerung, Dichtung und Verzahnung zusammen.
Verzahnungswirkungsgrade:

Gerad-Stirngetriebe ηZ bis 0,99
Kegelradgetriebe ηZ bis 0,98
Stirnradschraubgetriebe ηZ ≈ 0,50 … 0,95
Schneckengetriebe ηZ ≈ 0,20 … 0,97


Die Wirkungsgrade der schrägverzahnten Stirnradgetriebe sind ca. 1-2% kleiner gegenüber einer Geradverzahnung.

Aufgaben


Die Aufgaben zum Berechnen wurden mit dem Europa Tabellenbuch 43. Auflage berechnt. Die Abkürzung "EUTB S..." bezieht sich auf diese Ausgabe. In anderen Ausgaben können die Seitenzahlen abweichen.

Beispielaufgabe Nockenwellenantrieb


Zahnräder Nockenwellenantrieb.jpg

Die Nockenwelle eines Viertaktmotors dreht sich halb so schnell wie die Kurbelwelle. Sie wird durch einen Zahntrieb von der Kurbelwelle aus angetrieben. Das Zahnrad z1 auf der Kurbelwelle besitzt 24 Zähne und einen Modul m = 6 mm.

a) Wie groß muss die Zähnezahl z3 des Zahnrades auf der Nockenwelle sein?
b) Wie groß muss die Zähnezahl des Zwischenrades sein, damit der Achsabstand 516 mm zwischen Kurbelwelle und Nockenwelle überbrückt wird?

Lösungsweg:
gegeben: a/b) z1 = 24 ; m = 6 mm ; a = 516 mm
gesucht: a) z3 = ?

a) Die Kurbelwelle muß 2 Umdrehungen machen, wenn die Nockenwelle eine Umdrehung ausführt, d. h.:

Zahnräder Nockenwellenantrieb1.jpg

Für das Zahnrad z3 sind 48 Zähne ermittelt.

b) Berechnung Teilkreisdurchmesser d1 und d3

Zahnräder Nockenwellenantrieb2.jpg

Mit den ermittelten Durchmessern kann man nun den Teilkreisdurchmesser des Zahnrades d2wie folgt ermitteln:

Zahnräder Nockenwellenantrieb3.jpg

Mit dem ermittelten Teilkreisdurchmesser d2 kann man nun unter zu Hilfenahme des Moduls die Zähneanzahl des Zahnrades berechnen.

Zahnräder Nockenwellenantrieb4.jpg

Mit der ermittelten Zähnezahl z2 überprüft man nun noch einmal das Übersetzungsverhältnis.

Zahnräder Nockenwellenantrieb5.jpg

Das Zahnrad z2 hat 50 Zähne. Die Gesamtübersetzung ist iges = 2. Bei einem Zwischenrad, egal wie groß es ist, kann das Übersetzungsverhältnis i = z3/z1 ermittelt werden.

Anpassungskonstruktion Nockenwellenantrieb Ford P7

Der reparaturanfällige Nockenwellenantrieb des Ford P7 erfolgte über Stirnräder ohne Zwischenrad. Die für den Antrieb notwendige Motorleistung wird anteilig mit 2 kW angenommen.

Gegeben: z1 = 36; m = 3 mm; nMotor = 5.000 min-1

  1. Berechnen Sie für den Stirnradantrieb: z2; d1; d2; Achsabstand a; innere Gehäusebauhöhe h bei umlaufend 10mm Abstand
  2. Dimensionieren Sie unter Beibehaltung der geometrischen Bedingungen einen vergleichbaren Synchronriemenantrieb. Vereinfachende Annahme: keine zusätzlich angetriebenen Hilfsaggregate.
  3. Dimensionieren Sie ein vergleichbares Kettengetriebe mit Einfach-Rollenkette nach DIN 8187 als Steuerkette.

Zweigang-Bohrmaschine


Zahnräder Zweigang-Bohrmaschine.jpg

Für die abgebildete Bohrmaschine sollen folgende Werte berechnet werden:
a) Die Drehzahlen der Bohrspindel
b) Die Schnittgeschwindigkeit bei einem Bohrerdurchmesser von 10 mm bei niederster Drehzahl



hier gehts zur Lösung

Seiltrommelantrieb


Zahnräder Seiltrommelantrieb.jpg

Für den Seiltrommelantrieb müssen folgende Berechnungen durchgeführt werden:
a) Die Drehfrequenz der Schnecke
b) Die Drehfrequenz der Seiltrommel
c) Die Geschwindigkeit des Seiles in m/s
d) Den Achsabstand a bei Modul m = 4 mm
e) Die Zähnezahl des Schneckenrades z4



hier gehts zur Lösung


Zahnstangenantrieb


Zahnräder Zahnstangenantrieb.jpg

Eine Zahnstange wird durch ein Zahnrad mit z = 32 angetrieben. Modul m = 4 mm.
Wie groß ist der Hub der Zahnstange bei einer Zahnradumdrehung?





hier gehts zur Lösung

Tischverstellung


Zahnräder Tischverstellung.jpg

Ein Tisch einer Maschine kann wie in der Abbildung verstellt werden. Berechnen Sie:

a) Die Zahl der Kurbelumdrehungen für einen Weg von 36 mm
b) Den Weg bei einer Umdrehung der Kurbel.




hier gehts zur Lösung

Übersetzung


Ein Elektromotor treibt über ein zweistufiges Zahnradgetriebe eine Säge an. Die Motordrehfrequenz ist 1440 min-1, die Säge hat eine Drehfrequenz von 192 min-1. Die Zahnräder der ersten Stufe haben z1 = 18 und z2 = 45 Zähne. Das Zahnrad z4 hat 42 Zähne.
Berechnen Sie:
a) Die Gesamtübersetzung
b) Die Einzelübersetzungen
c) Die Zähnezahl des Zahnrades z3


hier gehts zur Lösung

Aufgabensammlung


Die folgenden Dateien ergeben eine komplette Aufgabensammlung mit 55 Aufgaben aus 3 verschiedenen Gebieten. Sie besteht aus 79 Seiten.

Inhaltsverzeichnis besteht aus 4 Seiten
Allgemeine Aufgaben 1-31 besteht aus 8 Seiten
Kfz Aufgaben 1-14 besteht aus 4 Seiten
Drehmoment Aufgaben 1-10 besteht aus 3 Seiten
Lösungen Allgemeine Aufgaben 1-31 besteht aus 35 Seiten
Lösungen Kfz Aufgaben 1-14 besteht aus 15 Seiten
Lösungen Drehmoment Aufgaben 1-10 besteht aus 10 Seiten

Wünsche viel Spaß beim Lösen der Aufgaben.

Ergänzungen 2010

Präsentation 6.11.2010 Zahnräder
Mathematische Aufgaben 6.11.2010 Zahnräder

Literatur

Diese Bücher haben mir bei der Lösung vieler Probleme geholfen:


Thumb Roloff/Matek: Maschinenelemente, Lehrbuch und Tabellenbuch; Vieweg Verlag, 18.Auflage, 2007 ,ISBN 978-3-8348-0262-0, Preis € 36,90
Thumb Roloff/Matek: Maschinenelemente, Formelsammlung; Vieweg Verlag, 9.Auflage, 2008, ISBN 978-3-8348-0534-8, Preis € 20,90
Thumb Roloff/Matek: Maschinenelemente, Aufgabensammlung; Vieweg Verlag, 14.Auflage, 2007, ISBN 978-3-8348-0340-5 , Preis € 26,00
Thumb Alfred Böge: Handbuch Maschinenbau; Vieweg Verlag, 18.Auflage, 2007, ISBN 978-3-8348-0110-4 , Preis € 69,90
Thumb Tabellenbuch Metall; Europa Lehrmittel Verlag, 44.Auflage, 2008, ISBN 978-3-8085-1724-6 , Preis € 23,80
Thumb Schierbock: Formeln und Tabellen für metalltechnische Berufe; Bildungsverlag eins, 17.Auflage, 2007, ISBN 978-3-8239-7140-5 , Preis € 13,80
Thumb Hoischen/Hesser: Technisches Zeichnen; Cornelsen Verlag, 31.Auflage, 2008, ISBN 978-3-589-24130-9, Preis € 21,00
Thumb Dubbel: Taschenbuch für den Maschinenbau; Springer Verlag, 22.Auflage, 2007, ISBN 978-3-540-49714-1, Preis € 79,95

--Timewarper 12:11, 15. Dez 2007 (CET)