Median: Unterschied zwischen den Versionen

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Der '''Median''' (oder ''Zentralwert'') halbiert eine Verteilung, darf aber nicht mit dem [[Mittelwert]] verwechselt werden.  
 
Der '''Median''' (oder ''Zentralwert'') halbiert eine Verteilung, darf aber nicht mit dem [[Mittelwert]] verwechselt werden.  
 
  
 
== Median einer Stichprobe ==
 
== Median einer Stichprobe ==
  
Der Median <i>m</i> ist der Wert einer Stichprobe, wenn höchstens die Hälfte der Beobachtungen in der Stichprobe einen Wert <i> < m </i> und höchstens die Hälfte einen Wert <i> > m </i> hat.
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Sortiert man die Werte der Größe nach („geordnete Stichprobe“), so lässt sich der Median leicht bestimmen:
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* Bei einer '''ungeraden Werteanzahl''' ist der Median der Wert an mittlerer Position, egal wie hoch der rechnerische [[Mittelwert]] ist, Beispiel:<br />5 Messwerte 1, 2, {{Mark|'''4'''}}, 5, 18. Der Median ist der Wert an der mittleren bzw. 3. Stelle, also 4. Das arithmetische Mittel dagegen beträgt 6.
  
Sortiert man die Werte der Größe nach („geordnete Stichprobe“), so ist der Median bei einer ungeraden Werteanzahl der Wert der in der Mitte dieser Folge, egal wie hoch der rechnerische [[Mittelwert]] ist.
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* Bei einer '''geraden Werteanzahl''' gibt es zwei Werte an mittlerer Position. In diesem Fall ergibt sich der Merian als Mittelwert dieser beiden Werte, Beispiel 1:<br />6 Messwerte 1, 1, {{Mark|'''2, 3'''}}, 4, 37. Der Median ist die Hälfte der Summe der beiden mittleren Zahlen, also ½{{*}}(2 + 3) = 2,5. Das arithmetische Mittel dagegen beträgt 8. Beispiel 2:<br />4 Messwerte: 1, 3, 3, 3. Der Median ist ½{{*}}(3 + 3), also 3. Das arithmetische Mittel ist 2,5.
 
 
Bei einer geraden Werteanzahl gibt es zwei mittlere Elemente.leren Beobachtungen sowie alle Werte dazwischen (obwohl diese bei keiner Beobachtung aufgetreten sind) ein Median der Stichprobe, da für alle diese Werte obige Bedingung zutrifft.
 
 
 
=== Beispiele ===
 
 
 
* Messwerte 1, 2, {{Mark|'''4'''}}, 5, 18: ungerade Anzahl. Der Median ist der Wert an der mittleren Stelle, also 4. Das arithmetische Mittel dagegen beträgt 6.
 
* Messwerte 1, 1, 2, 3, 4, 37: gerade Anzahl. Der Median ist die Hälfte der Summe der beiden mittleren Zahlen, also ½ (2 + 3), also 2,5. Das arithmetische Mittel ist 8.
 
* Messwerte 1, 3, 3, 3: gerade Anzahl. Der Median ist ½ (3 + 3), also 3. Das arithmetische Mittel ist 2,5.
 
  
 
== Vorteile des Medians ==
 
== Vorteile des Medians ==
  
Durch seine Resistenz gegen Ausreißer eignet sich der Median besonders gut als [[Lageparameter]] für nicht [[Normalverteilung|normalverteilte]] Grundgesamtheiten.
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Bei Ausreißern beschreibt der Median die Tendenz besser als der Mittelwert, Beispiel:
 
 
Beispiel:
 
  
 
Die Einkommen einer Gruppe von 10 Personen verteilen sich wie folgt:
 
Die Einkommen einer Gruppe von 10 Personen verteilen sich wie folgt:

Aktuelle Version vom 25. März 2012, 21:11 Uhr

Der Median (oder Zentralwert) halbiert eine Verteilung, darf aber nicht mit dem Mittelwert verwechselt werden.

Median einer Stichprobe

Sortiert man die Werte der Größe nach („geordnete Stichprobe“), so lässt sich der Median leicht bestimmen:

  • Bei einer ungeraden Werteanzahl ist der Median der Wert an mittlerer Position, egal wie hoch der rechnerische Mittelwert ist, Beispiel:
    5 Messwerte 1, 2, 4, 5, 18. Der Median ist der Wert an der mittleren bzw. 3. Stelle, also 4. Das arithmetische Mittel dagegen beträgt 6.
  • Bei einer geraden Werteanzahl gibt es zwei Werte an mittlerer Position. In diesem Fall ergibt sich der Merian als Mittelwert dieser beiden Werte, Beispiel 1:
    6 Messwerte 1, 1, 2, 3, 4, 37. Der Median ist die Hälfte der Summe der beiden mittleren Zahlen, also ½ · (2 + 3) = 2,5. Das arithmetische Mittel dagegen beträgt 8. Beispiel 2:
    4 Messwerte: 1, 3, 3, 3. Der Median ist ½ · (3 + 3), also 3. Das arithmetische Mittel ist 2,5.

Vorteile des Medians

Bei Ausreißern beschreibt der Median die Tendenz besser als der Mittelwert, Beispiel:

Die Einkommen einer Gruppe von 10 Personen verteilen sich wie folgt:

  • 9 Personen verdienen jeweils EUR 1.000 und
  • 1 Person verdient EUR 1.000.000.

Das Durchschnittseinkommen beträgt EUR 100.900, der Median jedoch nur EUR 1.000.

Weblinks

Ausführliche Erläuterungen zur Berechnung des Medians auf dem „Fußweg“:

Wikibooks und Statscan